By Werner Janka, Gerhard Palme

ISBN-10: 3129299971

ISBN-13: 9783129299975

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3 163 64 1 Analysis- Differenzialrechnung x" - 1 n. x n-1 1 1 Ableitung - Differenzierbarkeit Beispiel 2: Produktregel vgl. 4 -1 \ X = X2 2\ x =2 ·x 2 IX I sgn (x) (für x * 0) f: IR; -IR, x- y = x3 f': IR+ - IR, x-y = Folgerungen aus den Grenzwertsätzen sind die beiden folgenden Regeln: (f± g)'(x) = f'(x) ± g'(x) (Summenregel) (c. f)'(x) = c · f '(x) für c = const. SUMMENREGEL Als Spezialfall der Summenregel gilt: •\ x hat die Ableitung: 3x 2 · \ X+ x 3 · 2 :. 3 x2 · \ X · 2 \ X + x3 2\ X _ 6x 3 + x3 7x3 3,Sx 3 ~ - ~ = 2\X = \X = 3,5 x 2 • \ x Zu diesem Ergebnis wäre man auch gekommen, hätte man f(x) = x3 • \ = x 3 • x~ = x 3•5 geschrieben und dann nach der Regel für die Ableitung der Potenzfunktion gerechnet: x f'(x) = 3,5 · x2•5 = 3,5x 2 • xi = 3,5x 2 · \ X.

N(n + 1) + 9 . ,I Wichtiger ist aber, dass man mit Hilfe des Mittelwertsatzes (vgl. Seite 88) den folgenden Satz beweisen kann: lim 4 Ergebnis: Hx2 dx = 1 5t Wie man an diesem Beispiel sieht, kann die Berechnung bestimmter Integrale nach der Streifenmethode recht mühsam sein. Erfreulicherweise geht es auch einfacher; dazu ist zunächst jedoch noch etwas Theorie erforderlich. Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung (HDI): X ddx ff (t) d t = f(x) • (für f stetig) In Worten heißt dies, dass jede IntegralfunktionFeiner stetigen Integrandenfunktion fdifferenzierbar ist und dass ihre Ableitung F' gleich der Integrandenfunktion f ist.

N Die in b, c und d dargestellten Funktion f, g und h sind jeweils an der Stelle x0 unstetig. XTREMWERTSATZ Ist eine Funktion auf [a; bJ stetig, so ist sie auf [a; bJ beschränkt und besitzt hier ein absolutes Extremum. 155 56 ' Ableitung - Differenzierbarkeit Analysis - Di fferenzialrechnung Analysis - Differenzialrechnung Stetige Fortsetzung BEHEBBARKElT VON Funktion f heißt stetige Fortsetzung einer Funktion f auf eine Stelle x0 , wennfeine Fortsetzung (vgl. Seite 8) von f auf die Stelle x0 ist und wenn f an der Stelle x0 stetig ist.

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Abitur kompakt Wissen Mathematik by Werner Janka, Gerhard Palme


by Jason
4.4

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